认识二进制系统

认识二进制

所有计算机都是电子设备，可以做一件事：检测电信号是“打开”还是“关闭”。因此，早期的计算机科学家认识到，用只有数字$0$和$1$(基数为$2$)的二进制数系统， 比我们生活中常用的十进制数$0， 1，2，…，9$(基数为$10$)系统对操作计算机更为便捷。

基数：某进制中所用到的数字符号的个数。在基数为 $R$ 的计数制中包含$0，1,2,…,R-1$共 $R$ 个数字符号,进位规律是逢$R$进一,称为$R$进制。

位权：用来表示不同数位上数值的大小的一个固定常数，不同的数位位权不同。

人们把每个二进制称为位 (bit)。$1$表示“开”或“真”，$0$表示“关”或“假”。

十进制转换为二进制

十进制整数转换为二进制

方法：短除$2$取余

十进制数除以$2$，得到的商值继续除以$2$，依此步骤继续向下运算直到商为$0$为止，从商为$0$时的余数开始，倒序输出余数，即为我们要求的二进制数。

例题：将53用二进制数表示

方法一：用列式表示

第一步：用53不断的短除2，直到商为0，余数保存下来；

(1)$5 3 \div 2 = 2 6 \cdots 1$

(2)$26 \div 2 =13\cdots0$

(3)$1 3 \div 2 = 6 \cdots 1$

(4)$6 \div 2 = 3 \cdots 0$

(5)$3 \div 2 = 1 \cdots 1$

(6)$1÷2=0\cdots1$

第二步：从商为$0$时的余数开始倒序输出余数即为我们要求的二进制数。所以$53_{1 0} = 1 1 0 1 0 1_{2}$

方法二：用短除式表示

十进制小数转换为二进制

方法：乘$2$取整

每次与$2$相乘，整数值放一边，直到整数部分到$0$为止，再顺序写出整数值，就是十进制小数部分转换成二进制的结果。 如果整数部分不能为$0$，进入无限循环，则二进制数进入无限循环。

再顺序写出整数值，注意循环节，就是十进制小数部分转换成二进制的结果。 例题： (1) 写出$0.375$的二进制码

$0.375*2=0.75$ ====取出整数部分$0$

$0.75*2=1.5$ ====取出整数部分$1$

$0.5*2=1.0$ ====取出整数部分$1$

从上到下写出整数部分为：$0.011$

(2)写出$0.7$的二进制码

$0.7*2=1.4$ ====取出整数部分$1$

$0.4*2=0.8$ ====取出整数部分$0$

$0.8*2=1.6$ ====取出整数部分$1$

$0.6*2=1.2$ ====取出整数部分$1$

$0.2*2=0.4$ ====取出整数部分$0$

从上到下写出整数 $0.7$的二进制数是$0.10110$

例题：将$24.125$用二进制数表示

$24.125$ 既有整数又有小数，分开转化，

整数部分除$2$取余进行转化；小数部分乘$2$取整进行转化。

$24$的二进制为$11000$

$0.125 的二进制为 0.001$

∴$24.125的二进制为11000.001$

二进制转换为十进制

方法：按权展开求和

(1)先将二进制的数写成加权系数与该位上的数的乘积展开式；

(2)再根据十进制的加法规则进行求和。

二进制数的基数是$2$

第$i$位的位权是 $2^{i-1}$

例题：

(1)将二进制数转换为十进制数

$1011_2$ $= 1 * 2^{3} + 0 * 2^{2} + 1 * 2^{1} + 1 * 2^{0}$ $=1*8+1*2+1=11$

(2)将二进制$(0 . 1 1 1_{2}$转换为十进制数

$(0 . 1 1 1)_{2} = 1 * 2^{ - 1} + 1 * 2^{ - 2} + 1 * 2^{ - 3}$

= $1 * \frac{1}{2} + 1 * \frac{1}{2^{2}} + 1 * \frac{1}{2^{3}}$

$=0.5+0.25+0.125$

$= 0 . 8 7 5$

(3)将二进制$1 0 1 . 1 0 1_{2}$转换为十进制数 $1 0 1 . 1 0 1_2$ $= 1 * 2^{2} + 1 * 2^{0} + 1 * 2^{ - 1} + 1 * 2^{ - 3}$ $= 3 . 6 2 5$

八进制和十六进制与二进制的互换

计算机中的存储是以二进制来进行存储的，对于一个稍微大点的数(十进制)，用二进制存储会变得很长，譬如$1021$，存储成二进制就是$1111111101$，人们为了解决存储很长，但又要保留二进制的便利性，提出了八进制和十六进制。

人们将$3$位二进制数字组合在一起，表示一个基数8位的数字称为八进制；

而将$4$位二进制数字组合在一起，表示一个基数$16$位的数字并称为十六进制。

下表显示了这些基准中的等效值：

从上表可知，用$3$个二进制数字表示的最大值是$7$，用$4$位表示的最大值是$15$。

$8$进制的数字表示是$0$到$7$；

$16$进制的表示是$0-9$, A-F (表示$10-15$, 譬如A代表$10$, B代表$11$, 以此类推)。

1、二进制转成八进制/十六进制

如果是八进制，从右往左每三位二进制转换成一位八进制； 如果是十六进制，从右往左每四位二进制转换成一位十六进制；

如果在转换的过程中，不够三位 (或四位)，那么在最左边补0凑成三位(或四位)

$1 0 0 1 0 1 0 1 0_{2} = 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0_{2} = 1 1 2 6_{8}$

$1 0 0 1 0 1 1 0_{2} = 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0_{2} = 2 5 6_{1 6}$

例题：

(1) 写出$1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1_{2}$的八进制数

解题过程：

第一步：从右到左，每三位一组，最左边一组只有$1$个$1$，因此在左边补齐$2$个$0$，(因为在左边补0不会影响该数的大小)。

$001010111011110101_2$

第二步：每三位转换成一位八进制

$0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 2 = 1 2 7 3 6 5_{8}$

(2) 写出$1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1_{2}$的十六进制数

解题过程：

第一步：从右到左，每四位一组，刚好分成4组。

$1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1_2$

第二步：每四位转换成一位十六进制

$1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 2 = \textrm{A E F} 5_{1 6}$

2、八进制/十六进制转成二进制

八进制转二进制的过程和二进制转八进制的过程是相反的，是将一位八进制用等值的三位二进制来替换，最左边的一位八进制如果转成的三位二进制有前导0，忽略前导0，因为它们不影响数的大小；

十六进制转二进制的过程和二进制转十六进制的过程是相反的，是将一位十六进制用等值的四位二进制来替换，最左边的一位十六进制如果转成的四位二进制有前导0，而忽略前导0，因为它们不影响数的大小。

例题：

(1)将八进制数36018转换成二进制数

解题过程：

第一步：将每个八进制用等值的三位二进制来表示。

$011110000 001_2$

第二步：忽略前导0

$3 6 0 1 8 = 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1_{2} = 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1_{2}$

(2)将十六进制数$2A0D_16$转换成二进制数 解题过程：

第一步：将每个十六进制用等值的四位二进制来表示。

$00101010 0000 1101_2$

第二步：忽略前导$0$

$2 A O D_{1 6} = 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1_{2} = 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1_2$

任意进制转换为十进制

十进制数，基数是$10$，第$i$ 位的位权是$10^{i-1}$

二进制数，基数是$2$，第$i$位的位权是$2^{i-1}$

八进制数，基数是$8$，第$i$位的位权是 $8^{i-1}$

十六进制数，基数是$16$，第$i$位的位权是$16^{i-1}$

$n$ 进制数，基数是 $n$，第$i$位的位权是$n^{i - 1}$

1、任意进制数转换成十进制数 我们利用10的幂方来表示一个十进制数，需要记住两个定律： $a^{0}$ = $1(a \neq 0)$任何非零数的$0$次方等于$1$； 任何数和$0$相乘为$0$。

因此：

$4 3 8 1 = 4 * 1 0 0 0 + 3 * 1 0 0 + 8 * 1 0 + 1 = 4 * 1 0^{3} + 3 * 1 0^{2} + 8 * 1 0^{1} + 1 * 1 0 ^{0}$

$5 0 0 7 0 = 5 * 1 0^{4} + 0 * 1 0^{3} + 0 * 1 0^{2} + 7 * 1 0^{1} + 0 * 1 0^{1} = 50000 + 70$

这叫位权和，在前面提到的二进制转换为十进制的内容里，我们知道了二进制如何转换为十进制：

$1 1 0 1_{2} = 1 * 2^{3} + 1 * 2^{2} + 0 * 2^{1} + 1 * 2^{0} = 8 + 4 + 0 + 1 = 1 3_{1 0}$

其他所有任意进制都可以用位权求和来将它们转换成十进制。 例题：

(1)将八进制数$175$转成十进制

$1 7 5_{8} = 1 * 8^{2} + 7 * 8^{1} + 5 * 8 ^{0} = 1 * 6 4 + 7 * 8 + 5 * 1 = 6 4 + 5 6 + 5 = 1 2 5_{1 0}.$

(2)将十六进制数A5E转成十进制 $A 5 E_{1 6} = 1 0 * 1 6^{2} + 5 * 1 6^{1} + 1 4 * 1 6 ^{0} = 1 0 * 2 5 6 + 5 * 1 6 + 1 4 * 1 = 2 5 6 0 + 8 0 + 1 4 = 2 6 5 4_{1 0}.$

(3)将五进制数$34.1$转成十进制 整数部分：$3 4_{5} = 3 * 5^{1} + 4 * 5^{0} = 1 9$

小数部分：$0 . 1_{5} = 1 * 5^{ - 1} = 0 . 2$

$\therefore 3 4 . 1 5 = 1 9 . 2$

2、十进制数转换成任意进制数

十进制数转化为任意进制数是类似十进制数转成二进制数的。 假设要转化为 $n$ 进制，那么短除$n$倒序取余即可。

需要注意的是，如果$n \geqslant 1 0$ ,那么余数也可能大于等于$10$，需要将大于等于$10$的数转化为对应的字母。 例题：

(1)将$153$用$7$进制数表示 (1)$15 3 \div 7 = 2 1 \cdots 6$

(2)$21 \div 7 =3\cdots0$

(3)$3 \div 7 = 0 \cdots 3$

$1 5 3_{1 0} = 3 0 6_{7}$

(2) $103$用$13$ 进制数表示

(1)$10 3 \div 13 = 7 \cdots 12$

(2)$7 \div 13 =0\cdots7$

$1 0 3 = 7 C_{1 3}$

(六)非十进制数的加减法

我们回顾一下十进制数的加减法的原理。

加法：两数之和满10则进位。 例如，$15+48=63$，因为$5 + 8 = 1 3$ ,所以当前位(个位)保留$3$，$1$进位到下一位(十位)。

减法：对应位置的被减数不够减去减数时，从下一位借位$1$，并在当前数字中加上$10$。

例如，$75-48，5-8$不够减，跟前一位$7$借一位变成$10$，于是就是$15-8=7$, 前一位$7$减去$1$变成$6$, $6-4=2$, 故差为$27$。

这个十进制加减法规则可以运用到任何非十进制数的加减法中。

根据对应的进制的基数，进行进位和减位。

譬如二进制加法，满$2$进$1$，八进制加法，满$8$进$1$，十六进制加法满$16$进$1$。

减法也类似，

二进制减法退$1$当做$2$，八进制减法退$1$当做$8$，十六进制减法退$1$当做$16$。

我们来看几个例子：

1、二进制加减法 (1)$0_{2} + 0_{2} = 0_{2}$

(2)$0_{2} + 1_{2} = 1_{2}$

(3)$l_{2} + 1_{2} = 1 0_{2}$

(4)$1 0_{2} - 1_{2} = 1_{2}$

2、八进制加减法

(1)$7_{8} + 1_{8} = 1 0_{8}$

(2)$1 0_{8} - 1_{8} = 7_{8}$

3、十六进制加减法

(1)$7_{1 6} + 9_{1 6} = 1 0_{1 6}$

(2)$F_{1 6} - 3_{1 6} = C_{1 6}$

(3)$F_{1 6} + 3_{1 6} = 1 2_{1 6}$

非十进制的加减法都可以用十进制的竖式来推演计算过程。

2.1.2.原码、反码、补码系统

计算机中的有符号数有三种表示方法，即原码、反码和补码。 三种表示方法均有符号位和数值位两部分，符号位用$0$表示“正”，用$1$表示“负”,

而数值位，三种表示方法各不相同。

在计算机系统中，数值一律用补码来表示和存储。

原码、反码、补码

原码：最高位表示符号位 (0表示正；1表示负)，其它数字位代表数值本身的绝对值的数字二进制表示方式。

反码：如果是正数，则表示方法和原码一样；

如果是负数，符号位不变，其余各位依次取反。

补码：如果是正数，则表示方法和原码一样；

如果是负数，则将数字的反码加上1。

正数和0的原码、反码、补码相同。

例题：

(1)写出$25$和$-25$ 的原码、反码、补码(以一个字节来思考)

数值	原码	反码	补码
25	00011001
-25	10011001	11100110	11100111

(2)写出计算机中以10011111 (以一个字节为例)存储的二进制数对应的十进制是多少。 解题过程：

第一步：最高位是符号位为1，说明该数是负数。

第二步: 将补码转为反码 (补码-1) , 10011110 (反码)

第三步：将反码转为原码(符号位不变，其余位取反)，

$11100001$(原码)

第四步：最前面1代表负数，后面$1100001$的十进制数是：$64+32+1=97$。

∴ 答案是$-97$。